Os artigos abaixo (todos em inglês) têm links aonde pode lê-los de graça. A maioria está no arXiv, e pelo menos um que não está foi publicado numa revista "open access". Os artigos vão de mais velho a mais novo, pois assim fica mais facil falar sobre eles.
O segundo artigo da minha tese, em qual provo uma versão da Correspondência de Green para grupos virtualmente pro-$p$. O enunciado do teorema principal fica complicado por conta da seguinte questão, qual até hoje não sei a resposta: um módulo finitamente gerado indecomponível tem que ter uma fonte finitamente gerada? Não sei o que posso oferecer para quem resolver isso para mim... Grande abraço?
O primeiro artigo da minha tese e ainda sou super orgulhoso dele. Ele desenvolve o que descobri depois se chamar a teoria "local-global" das representações modulares de grupos profinitos. Projetividade relativa e vértices são introduzidos para grupos profinitos arbitrários, antes de restringir pra classe dos grupos virtualmente pro-$p$, para discutir os assuntos mais delicados de fontes e o Teorema de indecomposabilidade de Green. A numeração da versão do arXiv está inconsistente com a numeração da versão publicada. Se você gostaria de saber por que não só atualizo a versão do arXiv: eu também!
Estudamos o que Serre se chama o "triângulo $cde$" para grupos finitos, para estender a teoria pros grupos profinitos. O truque era para definir certos grupos de Grothendieck como funtores. Segue formalmente disso que eles fazem sentido para grupos profinitos. Ainda mais legal: os mapas "$d$" e "$e$" são transformações naturais entre estes functores, e assim eles também fazem sentido para grupos profinitos, de graça! Para mim, a parte mais interessante dessa abordagem é que deixa nítido que a famosa matriz de Cartan (o "$c$") NÃO é um objeto natural -- é mais ou menos uma coincidência que a definição faz sentido pros grupos finitos. Para mim, isso dá uma explicação convincente de por que a matriz de Cartan é tão maldita.
Teve um congresso em Ubatuba para comemorar o aniversário de César Polcino, em qual participei e amei. Escrevi essa pequena introdução ao artigo com Peter acima pros proceedings do congresso. Não o coloquei no arXiv, então caso quer dar uma olhada, me fale e procurarei ele nas caixas do porão.
O artigo vindo do meu pós-doc em Brasília e o começo de um relacionamento abusivo de longo prazo com o Teorema de Weiss (quem está abusando quem deixo pra justiça decidir). Provamos uma versão mais fraca do Teorema de Weiss para certos módulos infinitamente gerados -- um resultado forte suficiente para classificar os grupos profinitos do título.
Meu primeiro artigo com Kostia, e baseado numa única ideia chave: que a álgebra de caminhos e quiver de Gabriel devem ser funtores e devem formar um par adjunto. Tudo bem no papél, e basicamente verdadeira, mas os detalhes são um pouco delicados. Desde então, já refinamos as categorias e funtores, assim que as construções deste artigo talvez apareçam um pouco desajeitadas em retrospecto, mas uma linha de pesquisa emocionante (para mim), com muita coisa ainda para fazer, começou aqui.
Damos muitas propriedades homológicas básicas das álgebras pseudocompactas e seus módulos sobre um anel de valorização discreta completa. O alvo principal era para dar uma generalização clara e completa do Teorema de Weiss para módulos infinitamente gerados pseudocompactos. Embora a maioria do trabalho veio da passagem a finitamente a infinitamente gerado, a maioria das citações vêm do fato que até então ninguém tinha provado o Teorema de Weiss para anéis de valorização discreta (para mim, tudo bem! ♥)
Refinamos as categorias do artigo com Kostia acima, e isso feito, observamos que tudo vale para coálgebras e álgebras pseudocompactas pontuadas quaisquer. O artigo sugere que propriedades úteis das álgebras podem ser deduzidas formalmente olhando pras álgebras via suas camadas radicais (veja o teorema final).
O Teorema de Weiss dá uma condição suficiente para que um $\Z_p$-retículado para um $p$-grupo finito seja um módulo de permutação, em termos de módulos vindo de um subgrupo normal $N$, mas a condição não é necessária. Pavel e eu damos uma condição necessária e suficiente aqui, no caso especial mas importante em que $N$ tem ordem $p$. Há muito mais para fazer nesta direção, mas é difícil e nem sempre claro o que "deve ser" verdade. Aliás, este é meu único artigo sem limites inversos (a menos que você conta $\Z_p$, que podia, mas que seria de má fé).
É realmente impressionante quão tratável é a teoria dos blocos de grupos profinitos comparada à teoria das representações gerais. Meu sentimento é que a teoria das representações fica difícil quando um objeto tem "muitos conjugados", pois assim a topologia se envolve e faz uma bagunça. Mas já que blocos são centrais, não tem conjugados! Definimos o grupo de defeito de um bloco, provamos umas caracterizações, e demonstramos uma Correspondência de Brauer quão limpa possível para grupos profinitos arbitrários. Além das ferramentas profinitas usuais, o "truque" extra era para definir uma versão esperta do mapa de traço. Este mapa provavelmente ainda tenha mais para nos dar.
Os blocos dos grupos finitos geralmente não são muito bem entendidos, qual é compreensível já que as álgebras de grupo são geralmente bem difíceis. Mas os blocos cujos grupos de defeito são cíclicos tem uma descrição bem limpa como "álgebras de árvores de Brauer". Classificamos os blocos de um grupo profinito cujos grupos de defeito são cíclicos no sentido profinito. Resposta: os blocos com grupo de defeito cíclico finito são nada mais que os blocos dos grupos finitos com grupo de defeito cíclico, e os blocos com grupo de defeito $\Z_p$ são ainda mais fáceis!
Se a dimensão finistística (isto é, o supremo das dimensões projetivas daqueles módulos cujas dimensões projetivas são finitas) é sempre finita para uma álgebra de dimensão finita, é uma questão super difícil que fica aberta por muito tempo. Demonstramos que quando $A$ é uma álgebra de dimensão finita com subálgebra $B$ tal que $A/B$ tem dimensão projetiva finita como $B$-bimódulo, então a finitude da dimensão finitística passa de $A$ para $B$. A subálgebra $B$ pode ser ''mais difícil'' do que $A$, e assim novos exemplos de álgebras com dimensão finitística finita podem ser construídas desse jeito.
Enquanto a gente estudava álgebras pseudocompactas (♥) Kostia e eu achamos a literatura muito difícil a seguir, até que ficou difícil saber se alguma propriedade básica e fundamental era conhecida. Assim, metade como serviço público e metade como parte de nossa campanha de propaganda pseudocompacta, aqui coletamos e provamos muitos resultados sobre álgebras pseudocompactas semisimples e separáveis.
Em uma sequência de artigos, Claude Cibils, Maria Redondo e Andrea Solotar estudaram recobrimentos de $k$-categorias. Fiquei curioso sobre o que acontece com categorias normais ("sem $k$"), então Claude e eu investigamos. No fim das contas, o referee reclamou justamente que muita coisa já estava conhecida, e decidimos que daria muito trabalho decidir quais partes eram realmente novas e quais seguiram de resultados da literatura, então provavelmente este artigo não será publicado. Mas aprendí muita coisa deste trabalho e ainda meio amo ele.
Em uma sequência de artigos, Cibils, Lanzillota, Marcos e Solotar desenvolvem a teoria de uma classe de extensões de álgebras que preserve a finitude da dimensão global e da homologia de Hochschild das álgebras. Generalizamos esta classe de extensões para que as álgebras de interesse pra gente caiam dentro, e provamos que as propriedades homológicas continuam de ser preservadas. Também mostramos que a dimensão finitística é preservada por tais extensões. Temos um suspeito que nossas extensões darão exemplos interessantes até no caso de álgebras de dimensão finita, assim encontramos um exemplo como "prova de conceito". Para fazer isso, damos uma "versão relativa" do fato que uma álgebra acíclica tem dimensão global finita.
No artigo A characterization of permutation modules extending a theorem of Weiss com Pavel, o teorema principal tem a forma ``O reticulado $U$ é um módulo de permutação se, e somente se, Condições A e B estão satisfeitas''. Exemplos pequenos mostram que o resultado é falso se retiramos Condição A, mas não era nada claro se Condição B é supérflua. Em este artigo pequeno, damos uma primeira aplicação de um método novo que estamos construíndo para analizar os módulos de permutação, usando uma correspondência devida ao Butler: provamos a necessidade de Condição B por dar exemplos (aparentamente altamente não triviais) de reticulados satisfazendo Condição A que não são módulos de permutação.