"Propriedades cohomológicas de álgebras de incidência de posets": um algoritmo eficiente está construído que calcula resoluções projetivas minimais de um módulo simples para uma álgebra de incidência de dimensão finita. O mesmo algoritmo calcula os grupos de cohomologia de Hochschild destas álgebras. Novas técnicas de redução são dadas, permitindo simplificações do conjunto parcialmente ordenada antes do cálculo dos grupos de cohomologia. Utilizadas junto com reduções já conhecidas, as simplificações podem ser drásticas.
Projective resolutions of simple modules and Hochschild cohomology for incidence algebras
"A functorial approach to Gabriel quiver constructions": A tese tem duas partes. A primeira e maior parte é uma continuação do trabalho de Iusenko e eu, definindo o quiver de Gabriel de uma coálgebra pontuada e a coálgebra de caminhos como funtores, de tal forma que formam um par adjunto. Mais generalizações, por exemplo permitindo casos em que a (co)álgebra é básica mas não pontuada, são consideradas. Na segunda parte, é demonstrado que a álgebra de pontos fixos de uma ação de grupo contínua e homogénea sobre uma álgebra de caminhos completa, continua sendo uma álgebra de caminhos completa.
A functorial approach to Gabriel $k$-quiver constructions for coalgebras and pseudocompact algebras
"Adjunções entre categorias de álgebras e extensões de quociente bifinito": A tese tem duas partes essencialmente independentes. Primeiramente, as adjunções estudadas por Iusenko, por mim e por Quirino são generalizadas e refinadas, apresentando adjuntos à esquerda dos functores que mandam uma álgebra básica $A$ para $A/J^n(A)$. O caso de $n=2$ é um refinamento direto das adjunções mencionadas acima, enquanto os casos de $n>2$ têm condições mais técnicas. Na segunda parte, está provado que quando $B$ é uma subálgebra da álgebra de dimensão finita $A$ tal que $A/B$ tem dimensão projetiva finita como $B$-bimódulo, se $A$ tem dimensão finitística finita, então $B$ também tem. Exemplos mostram que tais $B$ poderiam sem mais complexas como álgebras do que as $A$ correspondentes.
Quotient bifinite extensions and the finitistic dimension conjecture
"Linearly topologized representations of algebras and coalgebras and their applications": espaços vetoriais com topologia linear são estudados de uma perspectiva fundacional, dando adjunções do tipo "tensor-hom" para muitas tais classes de espaços. Os resultados são aplicados para classes de (co)módulos topológicos para coálgebras e álgebras pseudocompactas. Estes resultados, por sua vez, são aplicados para construir sequências de Auslander-Reiten para comódulos, generalizando resultados de Chin, Kleiner e Quinn, e também para a teoria de inclinação, dando uma "versão pseudocompacta" de um teorema de Angeleri-Hügel e Coelho.
"Block Theory for Profinite Groups": definimos e estudamos o grupo de defeito de um bloco de um grupo profinito, dando várias caracterizações. Uma correspondência de Brauer está provada para grupos relativamente pro-$p$ (desde então, já generalizamos a correspondência para grupos profinitos). Os blocos de grupos profinitos tendo grupo de defeito cíclico são classificados usando uma análoga profinita das álgebras de árvore de Brauer. A tese do Ricardo foi premiada como a melhor tese do Departamento de Matemática da UFMG em 2021.
Block theory and Brauer's first main theorem for profinite groups
Blocks of profinite groups with cyclic defect group
Lucas trabalhou nos "espaços vetoriais subjacentes" que podem ser precisos quando queira fazer a teoria das representações de álgebras pseudocompactas sobre um corpo discreto: temos somas diretas do corpo (espaços discretos) e produtos diretos do corpo (espaços linearmente compactos), e estas categorias são abelianas. Mas quando quer uma categoria que contém ambos somas e produtos, novas técnicas são necessárias para obter categorias abelianas.
Trabalhando com Marlon Stefano e eu, Anderson classificou uma classe natural de produtos semidiretos de grupos usando a teoria das representações integrais de $p$-grupos, e em particular as representações integrais do grupo cíclico de ordem $p^2$.
"Matemática Condensada": Matheus leu umas (densas!) notas de aula de Peter Scholze em quais os conceitos de uma nova abordagem categórica à álgebra topológica são apresentadas. Matheus fez sentido de uns argumentos extremamente complicados e apresentou eles em detalhe.
"Módulos de permutação $p$-ádicos para $p$-grupos abelianos elementares": Marlon estudou representações $p$-ádicas dos $p$-grupos abelianos e usou uma correspondência devida ao Butler para achar um exemplo explícito que responde uma questão deixada em aberta num artigo de Zalesskii e eu. Marlon está fazendo seu doutorado comigo agora.
"The Kurosh Subgroup Theorem for profinite groups": Mattheus leu o livro novo (na hora) de Luis Ribes "Profinite Graphs and Groups", sobre os grafos profinitos e como eles nos ajudam entender certas construções da teoria combinatória dos grupos profinitos, e me ensinou um pouco sobre. Mattheus fez seu doutorado em Brasília com Pavel Zalesski.
"The finitistic dimension conjecture": Júlio César leu dois artigos sobre a "conjetura finitística" -- uma conjetura fácil a anunciar mas absurdamente difícil provar e possívelmente falsa. Primeiramente o artigo famoso de Igusa e Todorov onde introduzem as funções de Igusa-Todorov, e segundamente um artigo novo (naquele momento) de Rickard onde a conjetura é relacionada a questões aparentamente não relacionadas na categoria derivada. Júlio César fez seu doutorado com Viktor Bekkert aqui na UFMG, com eu como coorientador.
"Definable Subcategories and the Ziegler Spectrum": João Vitor leu o livro "Purity, Spectra and Localisation" de Mike Prest, sobre o que se pode dizer sobre módulos para um anel olhando pra estrutura lógica de primeira ordem, e me ensinou um pouco sobre. João Vitor fez seu doutorado com George Willis na University of Newcastle, Australia.
"Quivers com potenciais": Diogo leu o artigo influente "Quivers with potentials and their representations I: Mutations" por Derksen, Weyman and Zelevinsky. O que mais gostei do artigo é como ele usa sem dor o fato que a álgebra de caminhos completa de um quiver finito (uma álgebra pseudocompacta!) é muito melhor comportada do que a álgebra de caminhos abstrata.
"Álgebras de caminhos generalizadas e uma representação para K-álgebras de dimensão finita": Fernando leu o artigo "Generalized path algebras" de Coelho e Liu. Ele utilizou as álgebras de caminhos generalizadas para provar uma espécie de generalização para álgebras de dimensão finita, do teorema do Gabriel dizendo que toda álgebra pontuada de dimensão finita é isomorfa a um quociente bem comportado de uma álgebra de caminhos. Fernando fez seu doutorado comigo depois.
"Path coalgebra as a right adjoint functor": Samuel leu o primeiro artigo de Kostia e eu, generalizando uns resultados que provamos essencialmente para álgebras de dimensão finita, para coálgebras pontuadas arbitrárias. Essas pesquisas continuaram no doutorado do Samuel no IME-USP, orientado por Kostia e coorientado por mim.
"Teoria de Morita para coalgebras": Ricardo leu diversos artigos sobre coálgebras, com foco em entender para coálgebras e álgebras pseudocompactas uma versão do teorema fundamental de Morita, qual diz (a grosso modo) que toda álgebra de dimensão finita tem uma "versão básica" que pode ser tratada combinatoriamente. Ricardo fez seu doutorado comigo depois.
"Polinômios, Corpos de Decomposição e uma Introdução à Teoria de Galois": Leandro aprendeu uma parte da teoria de Galois e escreveu uma introdução amigável pro assunto.
"Álgebra Comutativa": depois de desenvolver uma base em anéis e módulos, lemos o início do livro "Undergraduate Commutative Algebra" de Miles Reid, que realmente não é bem um livro de graduação.
"Representações de posets e grupos abelianos": Douglas leu o livro "Abelian groups and representations of finite partially ordered sets" de David Arnold, e me ensinou um pouco sobre representações dos posets e como elas nos ajudam a entender, usando uma técnia de Butler, certas classes de grupo abeliano livre de torsão. Douglas começará seu mestrado aqui logo.
"Grupos topológicos": André estudou grupos topológicos e profinitos. Ele encontrou um exemplo mostrando que o espaço topológico das classes laterais duplas de um grupo profinito pode ser surpreendentemente complicado (em particular, não homogéneo). Este fato tem implicações para uma versão profinita da fórmula de classes duplas de Mackey, mas ainda não olhei os detalhes. André fez mestrado na UFRJ depois.
"Grupos abelianos infinitos": Quem acha que os grupos abelianos são fáceis não conhece os grupos abelianos. João Vitor leu e me ensinou sobre o livro fantástico mas denso de Irving Kaplansky "Infinite abelian groups", qual dá um resumo de exatamente quão loucos grupos abelianos infinitamente gerados podem ser. João Vitor fez seu mestrado comigo depois.
Ana Twayene Pereira, Marlon Stefano Fernandes Estanislau
Lucas Giraldi Almeida Coimbra, Pedro Henrique de Oliveira Neves
Arthur Freiman da Silva, Enzo Marques Lavezzo, Gustavo Neves da Cruz, Ludovica Dias Zuppo Morães