"Adjunções entre categorias de álgebras e extensões de quociente bifinito": A tese tem duas partes essencialmente independentes. Primeiramente, as adjunções estudadas por Iusenko, por mim e por Quirino são generalizadas e refinadas, apresentando adjuntos à esquerda dos functores que mandam uma álgebra básica $A$ para $A/J^n(A)$. O caso de $n=2$ é um refinamento direto das adjunções mencionadas acima, enquanto os casos de $n>2$ têm condições mais técnicas. Na segunda parte, está provado que quando $B$ é uma subálgebra da álgebra de dimensão finita $A$ tal que $A/B$ tem dimensão projetiva finita como $B$-bimódulo, se $A$ tem dimensão finitística finita, então $B$ também tem. Exemplos mostram que tais $B$ poderiam sem mais complexas como álgebras do que as $A$ correspondentes.
Quotient bifinite extensions and the finitistic dimension conjecture
"Linearly topologized representations of algebras and coalgebras and their applications": espaços vetoriais com topologia linear são estudados de uma perspectiva fundacional, dando adjunções do tipo "tensor-hom" para muitas tais classes de espaços. Os resultados são aplicados para classes de (co)módulos topológicos para coálgebras e álgebras pseudocompactas. Estes resultados, por sua vez, são aplicados para construir sequências de Auslander-Reiten para comódulos, generalizando resultados de Chin, Kleiner e Quinn, e também para a teoria de inclinação, dando uma "versão pseudocompacta" de um teorema de Angeleri-Hügel e Coelho.
"Block Theory for Profinite Groups": definimos e estudamos o grupo de defeito de um bloco de um grupo profinito, dando várias caracterizações. Uma correspondência de Brauer está provada para grupos relativamente pro-$p$ (desde então, já generalizamos a correspondência para grupos profinitos). Os blocos de grupos profinitos tendo grupo de defeito cíclico são classificados usando uma análoga profinita das álgebras de árvore de Brauer. A tese do Ricardo foi premiada como a melhor tese do Departamento de Matemática da UFMG em 2021.
Block theory and Brauer's first main theorem for profinite groups
Blocks of profinite groups with cyclic defect group
"Módulos de permutação $p$-ádicos para $p$-grupos abelianos elementares": Marlon estudou representações $p$-ádicas dos $p$-grupos abelianos e usou uma correspondência devida ao Butler para achar um exemplo explícito que responde uma questão deixada em aberta num artigo de Zalesskii e eu. Marlon está fazendo seu doutorado comigo e Csaba Schneider agora.
"The Kurosh Subgroup Theorem for profinite groups": Mattheus leu o livro novo (na hora) de Luis Ribes "Profinite Graphs and Groups", sobre os grafos profinitos e como eles nos ajudam entender certas construções da teoria combinatória dos grupos profinitos, e me ensinou um pouco sobre. Mattheus está fazendo seu doutorado em Brasília com Pavel Zalesski agora.
"The finitistic dimension conjecture": Júlio César leu dois artigos sobre a "conjetura finitística" -- uma conjetura fácil a anunciar mas absurdamente difícil provar e possívelmente falsa. Primeiramente o artigo famoso de Igusa e Todorov onde introduzem as funções de Igusa-Todorov, e segundamente um artigo novo (naquele momento) de Rickard onde a conjetura é relacionada a questões aparentamente não relacionadas na categoria derivada. Júlio César está fazendo seu doutorado agora com Viktor Bekkert aqui na UFMG, comigo sendo coorientador.
"Definable Subcategories and the Ziegler Spectrum": João Vitor leu o livro "Purity, Spectra and Localisation" de Mike Prest, sobre o que se pode dizer sobre módulos para um anel olhando pra estrutura lógica de primeira ordem, e me ensinou um pouco sobre. João Vitor está fazendo seu doutorado agora com George Willis na University of Newcastle, Australia.
"Quivers com potenciais": Diogo leu o artigo influente "Quivers with potentials and their representations I: Mutations" por Derksen, Weyman and Zelevinsky. O que mais gostei do artigo é como ele usa sem dor o fato que a álgebra de caminhos completa de um quiver finito (uma álgebra pseudocompacta!) é muito melhor comportada do que a álgebra de caminhos abstrata. Diogo está fazendo seu doutorado comigo agora.
"Álgebras de caminhos generalizadas e uma representação para K-álgebras de dimensão finita": Fernando leu o artigo "Generalized path algebras" de Coelho e Liu. Ele utilizou as álgebras de caminhos generalizadas para provar uma espécie de generalização para álgebras de dimensão finita, do teorema do Gabriel dizendo que toda álgebra pontuada de dimensão finita é isomorfa a um quociente bem comportado de uma álgebra de caminhos. Fernando está fazendo seu doutorado comigo agora.
"Path coalgebra as a right adjoint functor": Samuel leu o primeiro artigo de Kostia e eu, generalizando uns resultados que provamos essencialmente para álgebras de dimensão finita, para coálgebras pontuadas arbitrárias. Essas pesquisas contínuam no doutorado do Samuel no IME-USP, orientado por Kostia e coorientado por mim.
"Teoria de Morita para coalgebras": Ricardo leu diversos artigos sobre coálgebras, com foco em entender para coálgebras e álgebras pseudocompactas uma versão do teorema fundamental de Morita, qual diz (a grosso modo) que toda álgebra de dimensão finita tem uma "versão básica" que pode ser tratada combinatoriamente. Ricardo está fazendo seu doutorado comigo agora.
"Polinômios, Corpos de Decomposição e uma Introdução à Teoria de Galois": Leandro aprendeu uma parte da teoria de Galois e escreveu uma introdução amigável pro assunto.
"Representações de posets e grupos abelianos": Douglas leu o livro "Abelian groups and representations of finite partially ordered sets" de David Arnold, e me ensinou um pouco sobre representações dos posets e como elas nos ajudam a entender, usando uma técnia de Butler, certas classes de grupo abeliano livre de torsão. Douglas começará seu mestrado aqui logo.
"Grupos topológicos": André estudou grupos topológicos e profinitos. Ele encontrou um exemplo mostrando que o espaço topológico das classes laterais duplas de um grupo profinito pode ser surpreendentemente complicado (em particular, não homogéneo). Este fato tem implicações para uma versão profinita da fórmula de classes duplas de Mackey, mas ainda não olhei os detalhes. André fez mestrado na UFRJ depois.
"Grupos abelianos infinitos": Quem acha que os grupos abelianos são fáceis não conhece os grupos abelianos. João Vitor leu e me ensinou sobre o livro fantástico mas denso de Irving Kaplansky "Infinite abelian groups", qual dá um resumo de exatamente quão loucos grupos abelianos infinitamente gerados podem ser. João Vitor fez seu mestrado comigo depois.
Marlon Stefano, Samuel Amador dos Santos Quirino (coorientador), Júlio César Magalhães Marques (coorientador)
Matheus Johnny Caetano, Ana Twayene Pereira
Enzo Marques Lavezzo, Thiago Fernando de Souza, Geovanne Dias Zuppo Morães
Seguem uns tópicos que eu gostaria muito de entender, mas que provavelmente não conseguirei aprender sozinho. Qualquer deles deve poder ser um projeto de mestrado (nada fácil) -- caso tiver interesse me fale!
Operações naturais sobre módulos para grupos finitos dão somas diretas de módulos. Fazendo a mesma coisa com grupos e módulos profinitos, provavelmente obtemos algum tipo de "feixe profinito". Eles devem ser duais a "feixes normais" (quais aliás também não entendo). Gostaria de estudar esses objetos e a dualidade entre eles.
As álgebras que me interessam possuem dois tipos de módulo razoavelmente bem comportados: discretos e pseudocompactos. A
categoria de cada tipo é abeliana (um fato muito importante). Mas de vez em quando seria útil ter uma categoria que contém
os dois tipos de uma vez, e fazendo isso, perdemos abelianidade. Um chique tipo novo de mátematica chamada "matemática
condensada" tem jeitos chiques de lidar com este tipo de problema (mais feixes!). Gostaria de aprender um pouco sobre
matemática condensada e gostaria de saber se ela ajuda com meus módulos. Provavelmente devemos aprender uns pré-requisitos e
depois tentar ler
isso.
ATUALIZAÇÂO: André Contiero e eu estamos organizando um seminário sobre a tema. Me fale se tiver interesse!
Quero entender este artigo, mas tem muita geometria algébrica pré-requisita que não conheço. Então estou procurando um voluntário para aprender comigo as coisas necessárias de álgebra comutativa e geometria algébrica para tentar entender o artigo.