arXiv. Sou super inconsistente com meu segundo nome. Paciencia.
Trabalho com representações. As álgebras e os módulos que me interessam são às vezes "grandes", mas são construídos (via limites inversos) de objetos "pequenos", e vêm com uma topologia natural que se lembra de onde eles vieram. Esta topologia extraordinariamente bem comportada permite resultados poderosos que valem pros objetos pequenos a passar pros objetos grandes. Para estender um resultado dos objetos pequenos pro limite, a gente tem que garantir que os resultados, aplicados nos objetos pequenos, respeitam os relacionamentos entre eles. Ou seja, tem que explicitar a "naturalidade" dos resultados. Frequentemente, isso vale a pena fazer por si só, pois gera um conhecimento melhor dos resultados pros objetos pequenos.
Minhas pequisas têm dois focos, as quais se sobrepõem mas têm alvos distintos e usam técnicas diferentes. A minha coisa favorita no mundo é quando técnicas de um ajudam com o outro.
Um grupo profinito $G$ é um limite inverso de grupos finitos. Escolhendo um anel de coeficientes $R$, podemos considerar o sistema inverso correspondente das álgebras de grupo finito, cujo limite se chama a "álgebra de grupo completa" de $G$. As representações de $G$ (sobre $R$) são os módulos para esta álgebra. Dentro dessa área geral, atualmente tenho interesse em duas subáreas:
Blocos dos grupos profinitos: a álgebra de grupo completo de um grupo profinito $G$ é um produto direto de álgebras indecomponíveis, chamados os blocos de $G$, e quando estudamos as representações de $G$, frequentemente basta estudar os módulos para um bloco cada vez. Em projetos diferentes, uns com Ricardo Franquiz aqui na UFMG e outros com Peter Symonds na University of Manchester, estamos desenvolvendo a teoria dos blocos para grupos profinitos.
Módulos de permutação para $p$-grupos finitos: a maioria dos módulos para uma álgebra de grupo $RG$ não tem muito interesse na base especial $G$. Os poucos que respeitam essa base, no sentido que eles mesmo têm uma base preservada pela multiplicação por elementos de $G$, são os melhores módulos da perspectiva do grupo. Tudo bem, mas quando Deus (ou será Satanas??) te dá um módulo, pode não ser nada claro se ele possui uma tal base bem comportada ou não. Em projetos com Pavel Zalesski na UnB, e Marlon Stefano aqui na UFMG, estamos trabalhando em "teoremas de detecção" para módulos de permutação: isto é, dado um módulo, como decidir se ele é um módulo de permutação? Isso tudo é baseado num teorema maravilhoso de Alfred Weiss dos anos 80.
Seja $k$ um corpo (algebricamente fechado, que tal). A álgebra de grupo era um limite inverso de álgebras de grupo de dimensão finita, mas claramente não temos que nos restringir às álgebras de grupo. Uma "álgebra pseudocompacta" é, por definição, um limite inverso de álgebras de dimensão finita. Tais álgebras são grandes e complexas, mas elas herdam muitas propriedades das álgebras de dimensão finita das quais são construídas, e assim são uma generalização fantástica das álgebras de dimensão finita. Muitas ferramentas fundamentais ao estudo de álgebras de dimensão finita também se estendem às álgebras pseudocompactas. Quero desenvolver algumas delas. Aliás, caso tiver interesse em coálgebras devo dizer: as categorias das cocoisas e das coisas pseudocompactas são duais, assim estudar uma é a mesma coisa como estudar a outra. Este projeto tem muitos ramos, e tem muitas pessoas envolvidas, mas meu colaborador principal em tudo é Kostiantyn Iusenko da IME-USP.
Quivers (aljavas? carcáses??) e relações: A abordagem combinatória à teoria das representações das álgebras de dimensão finita houve tanto sucesso que às vezes é difícil imaginar como dizer nada sem ela. Podemos relacionar a uma álgebra pseudocompacta um quiver (normal!), e usá-lo para entender os módulos para ela, exatamente como no caso finito. Um pouco mas especificamente: estamos interessados em fazer estes relacionamentos funtoriais, assim que eles nos ensinam não somente sobre álgebras individuais, mas sobre as relações entre elas. Também envolvidos em partes diferentes desse metasubprojeto (peço desculpas pela linguagem técnica) são Fernando dos Reis Naves, Samuel Quirino e Ricardo Souza.
Homologia das álgebras de dimensão finita e pseudocompactas: Os cálculos com homologia parecem meio desajeitados de longe, mas escute bem esse conselho: são viciantes. Kostia e eu somos corrompidos. Estamos particularmente interessados em o que se chama "homologia relativa", onde se estuda a homologia de $A$ com respeito a uma subálgebra $B$, em vez de "homologia normal", onde você trabalha com respeito a $k$. Essa técnica é muito usada e poderosa no mundo das álgebras de grupo, mas para álgebras de dimensão finita gerais pouca coisa se sabe, e assim fica ainda mais viciante.